Výrazy

Hodnota výrazu se rovná 0, jestliže se celý výraz rovná 0. U lomených výrazů, když se čitatel rovná nule, jelikož dostaneme např:

x + 5	= 0 / . x
x

jakékoli číslo vynásobené 0 je zase 0, proto stačí: x + 5 = 0

Lomené výrazy

	m + 1	(čitatel lomeného výrazu)
	m - 3	(jmenovatel lomeného výrazu)

	m + 1
	m - 3

nemá smysl pro
m - 3 = 0

3 + 1

3 - 3

=

4

0

nemůžeme dělit číslem 0

má smysl
pro m - 3 ≠ 0, m ≠ 3

Lomené výrazy

	2a
	4a + b

nemá smysl pro

4a + b = 0
b = -4a
a = -

b

4

má smysl pro

4a + b ≠ 0
b ≠ -4a
a ≠ -

b

4

Lomené výrazy

	2a
	4a + b

nemá smysl pro

4a + b = 0
b = -4a
a =

b

4

má smysl pro

4a + b ≠ 0
b ≠ -4a
a ≠

b

4

Lomené výrazy

	2a
	4a + b

nemá smysl pro

4a + b = 0
b = -4a
a =

b

4

má smysl pro

4a + b ≠ 0
b ≠ -4a
a ≠

b

4

Základní tvar

Zlomek je v základním tvaru, jestliže nemůžeme zlomek krátit

3

15

Tento zlomek můžu krátit (vydělit čitatele i jmenovatele společným delitelem) 3

3 : 3

15 : 3

=

1

5

Krátíme lomené výrazy

3xy²	=
15xy

3xy²	=
15xy

3y	=
15

y
5

Kde x ≠ 0 a y ≠ 0

15.(x+3).(x-1)	=
5.(x-1).(x+2)

15.(x+3).(x-1)	=
5.(x-1).(x+2)

5.3.(x+3)	=
5.(x+2)

3.(x+3)
x+2

Kde x ≠ 1 a y ≠ -2

Při krácení musíme vždy uvést podmínky, za kterých mají daný i zkrácený výraz smysl, abychom nedělili 0

Rozširujeme lomené výrazy

x
3.(x+y)

rozšířime výrazem 3xy

x	.
3.(x+y)

3xy	=
3xy

3x²y
9xy.(x+y)

Kde x ≠ 0 a y ≠ 0 a x ≠ y

Sčítáme a odečítáme lomené výrazy

2x	+
x+1

2	=
x

2x.x + 2(x+1)	=
x.(x+1)

2x²+2x+2
x²+x

x ≠ 0; x ≠ -1

2x	-
x+1

2	=
x

2x.x - 2(x+1)	=
x.(x+1)

2x²-2x+2	=
x²+x

2(x²-x+1)
x(x+1)

x ≠ 0; x ≠ -1

Sčítáme a odečítáme lomené výrazy

5x	+
x

3x+1	=
x

5x+3x+1	=
x

8x+1
x

x ≠ 0

5x	-
x

3x+1	=
x

5x - (3x+1)	=
x

5x-3x-1	=
x

2x-1
x

x ≠ 0

Nasobíme a dělíme lomené výrazy

x(y+1)	.
z

2z	=
(y+1)²

x(y+1)	.
z

2z	=
(y+1)²

2x
(y+1)

Lomené výrazy násobime tak, že vynásobime čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Podmínky se píši ještě před krácením.

Nasobíme a dělíme lomené výrazy

x+3	:
x-1

2x+6	=
x²-x

x+3	.
x-1

x²-x	=
2x+6

x+3	.
x-1

x(x-1)	=
2(x+3)

x
2

Výraz dělíme lomeným výrazem tak, že jej násobíme převráceným lomeným výrazem. Převrácený výraz - k danému lomenému výrazu dostaneme tak, že zaměníme čitatele a jmenovatele

2x+6
x²-x

x²-x
2x+6

Nasobíme a dělíme lomené výrazy

x(y+1)	.
z

2z	=
(y+1)²

x(y+1)	.
z

2z	=
(y+1)²

2x
(y+1)

Lomené výrazy násobime tak, že vynásobime čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Podmínky se píši ještě před krácením.

Nasobíme a dělíme lomené výrazy

x+3	:
x-1

2x+6	=
x²-x

x+3	.
x-1

x²-x	=
2x+6

x+3	.
x-1

x(x-1)	=
2(x+3)

x
2

Výraz dělíme lomeným výrazem tak, že jej násobíme převráceným lomeným výrazem. Převrácený výraz - k danému lomenému výrazu dostaneme tak, že zaměníme čitatele a jmenovatele

2x+6
x²-x

x²-x
2x+6

Lomené výrazy

Uveď:

a) pro kterou hodnotu m se hodnota výrazu

m + 1

m - 3

rovná 0

m =

b) pro kterou hodnotu m se jmenovatel výrazu

m + 1

m - 3

rovná nule

m =

c) pro kterou hodnotu m výraz

m + 1

m - 3

nemá smysl

m =

Lomené výrazy

Napiš zda o výrázech platí následující výroky. Do pole doplň ano nebo ne.

a) Že nemám někdy smysl? Nesmysl!

5x
x² + 2

b) Někdy smysl mám, někdy zase ne!

x² + 7
x⁴ -1

c) Ať dělám co dělám, nemám nikdy smysl.

a + 3
(a-3) - (a-3)

Lomené výrazy

Zjisti, pro které hodnoty u nemá následující výraz smysl:

Jestliže výsledek bude např. u ≠ -3 a u ≠ 4, seřaď je podle velikosti -3 < 4 a potom doplň od nejmenší po největší, v tomto případě u ≠ -3;4 mezi podmínkami piš středník a piš vše dohromady bez mezer.

5u-1

(u+2).(u-3)

u ≠

3u-4

(u+9)²

u ≠

2

(16-u²)

u ≠

u³+1

u.(u-4)

u ≠

Lomené výrazy

Rozhodni zda platí, pokud věta platí napiš ano, pokud neplatí napiš ne.

1

2a+b

nemá smysl, jestliže b=-2a

7a²

4a+2b

nemá smysl, jestliže b = a/2

4b²

3a-3b

nemá smysl, jestliže a = b

6a+7b

a-3b

nemá smysl, jestliže a = -3b

Lomené výrazy

Jestliže výsledkem bude zlomek, např.

-2

5

doplň do výsledků -2/5

Vyjádři zlomek v základním tvaru

280

168

Vypočítej hodnotu

5x²y

7xy

pro x=2, y=3

Vypočítaný výraz uveď v základním tvaru

Uveď výraz

5x²y

7xy

v základním tvaru pro x a y, kde x≠0, y≠0

Příklady na procvičení

Jestliže je výsledkem zlomek, např.

-2

5x

, doplň do výsledků -2/5x, záporné znaménko uváděj u čitatele. Pokud je podmínek více, seřaď je podle velikosti a odděluj středníkem, např. x ≠ -4;3.

5x

3x²-2x

x ≠

Základní tvar

m-n

3m-3n

m ≠

Základní tvar

4u + 3u²

4v+3uv

u ≠
v ≠

Základní tvar

Příklady na procvičení

Jestliže je výsledkem zlomek, např.

-	2
	3

, doplň do výsledků -2/3, jestliže ve výsledku bude x ² piš x^2, proměnné řaď podle abecedy, např. xyz.

Rozšiřte zlomek číslem 2

	2
	3

	3
	4

	5
	2

Rozšiřte výraz

	x
	y

pro x ≠ 0 y ≠ 0

číslem 2

výrazem x

výrazem y

Sčítání a odčítání

Zlomky uváděj v základním tvaru.

1	+
3

5	+
3

4	=
3

2	+
7

5	=
3

10	-
5

1	-
5

3	=
5

8	-
3

1	=
5

Příklady

Výsledky vyjádři v základním tvaru. Proměnné seřaď podle abecedy a piš dohromoday bez mezer, např. 5a+b+c+1 či abc. Číslo bez proměnné uvádíme vždy na konci.

4x - 1	-
5x

1	=
x

5	+
xy

9	+
xz

3	=
yz

x ≠ 0

x ≠ 0; y ≠ 0; z ≠ 0

6a-4	-
a+1

6a-10	=
2(a+1)

1	-
xyz

4	-
xy

5	=
xz

a ≠ -1

x ≠ 0; y ≠ 0; z ≠ 0

Příklady

Vynásob a vyděl zlomky. Výsledky uváděj v základním tvaru.

3	.
8

7	=
5

3	:
4

2	=
5

9	.
4

8	=
3

3	:
5

3	=
7

2x	.
3

y	=
2

x	:
y

x	=
y

Příklady

Vynásob a vyděl zlomky. Výsledky uváděj v základním tvaru.

6x+4	.
x+1

3x+3	=
2x

x+5	.
x

3x	=
6x-3

x ≠ 0; x ≠ -1

x ≠ 0; x ≠ 1

c-d	:
d+1

d-c	=
2d+2

u-1	:
u-1

u²-1	=
u+1

d ≠ -1; d ≠ c

u ≠ -1; u ≠ 1

Příklad na závěr

a+b	-
a-b

a-b
a+b

.

1-	a²+b²
	a²-b²

2-	1+b²
	b

=

1	-
b²

2	+ 1
b